Fire de asteptare

16. Teoria firelor de aşteptare (teoria cozilor). Clasificarea sistemelor de servire (aşteptare). Exemple. Fluxul de sosire al cererilor (comenzilor). Fluxul elementar, testul Pearson(x²) de validare a legii de repartiţie a probabilităţilor de tip exponenţial (Poisson) a fluxului de sosire a cererilor şi a timpului de servire.

De obicei, sistemele de asteptare sunt studiate analitic, adica, pentru anumite repartitii ale timpilor dintre doua sosiri consecutive si timpilor de servire, precum si anumite politici de servire ale clientilor, sunt deduse formule matematice ale factorilor de eficienta ai sistemului. Exista numeroase situatii când astfel de formule nu exista sau sunt extrem de complicate. În aceste situatii, se recomanda utilizarea unor algoritmi de simulare cu ajutorul calculatorului.

Distingem:

·         Sisteme deschise: cu sursă infinită de staţii unde n-numărul staţiilor, iar m –numărul locurilor de aşteptare=0(cu refuz).

·         Sisteme deschise unde n<∞ ;m<∞.(cu refuz)

·         Sisteme deschise cu număr limitat de staţii: n<∞; m→∞.

·         Sisteme închise, în care sursa este partea componentă a sitemului de aşteptare, n –numărul staţiilor de servire.

Pentru toate sistemele, fluxul de sosire a cererilor este elementar, adică satisface următoarele proprietăţi:

1)      este ordinar; 2) staţionar; 3) independent.

Ordinar –probabilitatea că într –un interval mic P(∆t) vor sosi mai mult de 1 cerere reprezintă un ∞ mic de ordin superior faţă de mărimea (∆t).. Într-un interval de timp ∆t este puţin probabil.

Staţionar –probabilitatea că în intervalul de timp t vor sosi k cereri(P_k(t)) depinde numai de mărimea t şi k şi nu depinde poziţia ce o ocupă k.

Independenţa –probabilitatea P_k(t) nu depinde de numărul cererilor solicitate până la momentul începerii intervalului t.

Fluxul elementar se mai numeşte flux de tip Poisson, deoarece se poate demonstra că fluxul pentru care are loc P_k(t), poate fi calculat după legea de repartiţie a lui Poisson.

, unde k(t) este o variabilă aleatoare discretă pentru care:

M(k(t))=

λ exprimă numărul mediu al cererilor solicitate sistemului într-un interval =1.

Neajunsul variabilei k(t) consta în aceea ca e o variabilă discretă. Pentru descrierea fluxului de intrare a cererilor este mai comodă variabila aleatoare continuă (T). T –intervalul de timp între 2 momente consecutive de solicitare a cererii. Se folosec aici funcţii de repartiţie şi cea a variabilei T este: f(t)=P(T-λt

; t≥0

P(T0

t=1-e^-λt

Deci, T(t)=

Criteriul Pearson (c²).

H₀: „fluxul de sosire a cererii este elementar”

H₁:”nu H₀”

La început se culege informaţia, după care ea se divizează în intervale, se calculează valorile frecvenţei (- ajustată).

Sunt posibile cazurile:

, dacă această relaţie se verifică se acceptă H₀, dacă nu, se acceptă H₁.

Fie m_i –frecvenţa observată:

20.  Sisteme de servire (aşteptare) deschise cu coadă finită  şi infinită; caracteristicile principale necesare pentru analiza acestor sisteme.

  Analiza sistemelor de aşteptare cu n staţii de servire şi m=0(locuri la coadă).

Fluxul de sosire a cererilor este elementar(de tip Poisson).

Timpul de servire are repartiţia exponenţială.

F(t)=, unde μ – câte cereri în unitatea de timp t vor fi servite de staţie.

Fluxul de sosire: f(t)=

Dacă cererea solicitată soseşte în momentul când cel puţin o staţie este liberă, ea va fi servită. Dacă toate staţiile sunt ocupat, ea va fi respinsă. Toate staţiile de servire posedă aceeaşi capacitate.

S₀ –starea când cererile lipsesc şi deci toate n –fire de aşteptare(staţii) sunt libere.

S₁ –în sistem se află o cerere, adică 1 staţie e ocupată şi n-1 libere.

S_n –tpate staţiile sunt ocupate cu servirea.

Fie λ –intenisatea de ocupare, iar μ –intensitatea de eliberare.

Pentru calculul probabilităţilor finale vom utiliza formulele:

 Notăm, atunci

Având probabilităţile finale, putem calcula o serie de caracteristici:

·   probabilitatea când cererea va fi refuzată:

·   capacitatea relativă de servire:

·   capacitatea absolută de servire:

·   numărul mediu de staţii ocupate cu servirea: sau

·   numărul de staţii libere, ce funcţionează neproductiv, disponibile:

·   coeficientul de utilizare a staţiei:

·   coeficientul de staţionare neproductivă:

Dacă pierderea clienţilor este costisitoare, pentru ameliorare se va mări numărul de staţii.

Analiza sistemelor de aşteptare cu n staţii de servire şi m<∞(locuri la coadă).

S_n+1 –toate staţiile sunt ocupate şi 1 stă la coadă

Găsind sistemul în starea S_n+m, cererea va părăsi sistemul.

Probabilitatea de refuz a cererii:

Lungimea medie a cozii:; Timp de aşteptare la coadă

Sisteme de aşteptare deschise(fără refuz)(m→∞).

21.  Sisteme de aşteptare închise; caracteristicile necesare pentru analiza acestor sisteme.

Problema: într-o staţie a unei întreprinderi funcţionează m maşini. Fiecare maşină se defectează cu intensitatea . Firma are o echipă de n persoane, μ –capacitatea persoanelor de reparaţie. _serv=.

Analiza sistemului. S₀ –starea când toate maşinile lucrează; S₁ –o maşină s-a defectat....S_n –n maşini la reparaţie; S_n+1 –o maşină aşteaptă la coadă; S_m –toate m maşini se repară.

Numărul mediu al persoanelor ocupate în reparaţie:

-timpul mediu de staţionare neproductivă a maşinii.