Integrale

Tabelul integralelor functiilor elementare:

Metoda integrarii prin parti : ∫udv = uv - ∫vdu

ex: ∫(2x+1)sinxdx

Notam:

u = 2x+1

du = (2x+1)'dx = 2dx

dv = sinx dx

v = ∫dv = ∫sinx dx = - cosx + c

Metoda substitutiei sau metoda schimbului de variabila:

1. Substituim radicalul cu t ;

2. Exprimam x prin t ;

3. Calculam dx ;
(La integrala definita se calculeaza si limitele noi de integrare)

4. Inlocuim in integrala.

Metoda coeficientilor nedeterminati:

∆>0 

∫(2x-1)dx/(x+2)(x+3); 

A/(x+2) + B/(x+3)

A(x+3)+B(x+2)=2x+1

(A+B)x-(3A+2B)=2x-1

∆<0

1. Facem coeficientii sa fie 1;

2. Calculam diferentiala expresiei de jos si o organizam sus la numarator;

3. Despartim in 2 fractii si 2 integrale;

4. In prima integrala inlocuim diferentiala prin expresia obtinuta mai sus si obtinem formula de integrare n7;

5. In a 2-a integrala la numitor separam un patrat perfect si obtinem formula de integrare n10.

Calcularea unor integrale din functii trigonometrice:
ex: ∫dx/(sinx+3cosx+2)
Formule utilizate cu jumatate de unghi: Sin(x)=2sin(x/2)cos(x/2)
                                                          Cos(x)=cos2(x/2)-sin2(x/2)
                                                          sin2(x/2)+cos2(x/2)=1
1. Inlocuim in integrala;
2. Extragem cos2(x/2);
3. Substituim tg2(x/2) cu t;
4. Separam patratul perfect;
5. Obtinem formula de integrare n9;
6. Revenim la substitutie.

Substitutie universala:
t = tg (x/2)
sinx = 2t/(1+t2)
cosx = (1-t2)/(1+t2)
dx = 2dt/(1+t2)

Calcularea integralei din functii ce contin modul:
1. Tabloul functiei in modul y=0. Construirea graficului.
2. Adunam integralele pe intervalele cu semnele respective ale functiei.